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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

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\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{实变函数测验 4B-5A}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2024 年 5 月 20 日}
%\date{March 9, 2021}

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\begin{document}

\maketitle

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圈出叙述错误的步骤，并加以改正。

\begin{enumerate}

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\item  %Problem 01
（里斯定理）设可测集 $E$ 上的函数列 $\{f_n(x): n=1,2,\cdots\}$ 依测度收敛于 $f(x)$. 证明存在子列 $\{ f_{n_i}(x): i=1,2,\cdots\}$ 几乎处处收敛于 $f(x)$.

%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
按依测度收敛定义，对任意 $\sigma>0$ 与 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时有 $m \left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right) <\varepsilon. $

\item  %2
对每个正整数 $k$, 取 $\sigma=\varepsilon=\frac{1}{2^k}$, 由(1)知存在 $N_k$ 使得 
$N_k>N_{k-1}$ 且 $m \left( E\left[ |f_{N_k}-f|\ge \frac{1}{2^k} \right] \right) < \frac{1}{2^k}. $

\item  %3
对每个正整数 $k$, 记集合 $E_k = E[|f_{N_k}-f|< \frac{1}{2^k}]$, 则由(2)可知 $m(E-E_k)<\frac{1}{2^k}$. 

\item  %4
记 $F_k = \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}E_n =E_k\cap E_{k+1}\cap\cdots\cap E_n\cap\cdots $, 
则有递增序列 $F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_k\subseteq\cdots$.   

\item  %5
由(3)与(4)可知，
对每个正整数 $K$, 对任意 $x\in F_K$, 
%对任意 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $m$ 使得 $\frac{1}{2^m}<\varepsilon$.  
当 $k\ge K$ 时，有 $ | f_{N_k}(x)-f(x)| < \frac{1}{2^k}. $
%\le \frac{1}{2^K}<\varepsilon. $$   

\item  %6
对任意 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $M$, 当 $k\ge M$ 时，有 $\frac{1}{2^k}<\varepsilon$. 

\item  %7
由(5)与(6)可知，对每个正整数 $K$, 函数子序列 $\{ f_{N_1}, f_{N_2}, \cdots, f_{N_k}, \cdots\} $ 关于 $x\in F_K$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %8
记 $F=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k = F_1\cup F_2\cup \cdots \cup F_k\cup\cdots $, 
由(7)可知 $\{ f_{N_1}, f_{N_2}, \cdots, f_{N_k}, \cdots \} $ 关于 $x\in F$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %9
最后要证 $m(E-F)=0$. 由德摩根公式可知
$$E-F=E-\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}(E-F_k) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\left( E- \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}E_n \right) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ).$$

\item  %10
由(9)与(3)可知，对任意正整数 $k$, 有 
$$m(E-F)\le m \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ) \right)
\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} m (E-E_n )\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}}. 
$$ 

\item  %11
因为(10)中的 $k$ 可取任意正整数，所以 $m(E-F)=0$. 

\end{enumerate}

%{\color{red}解答：
%(8) 记 $F=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k $, 
%由(7)可知 $\{ f_{N_1}, f_{N_2}, \cdots, f_{N_k}, \cdots \} $ 关于 $x\in F$ 处处收敛于 $f$. 
%
%
%}

\vspace{1.3cm}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %Problem 02
（勒贝格定理）设可测集 $E$ 的测度有限。设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的可测函数列，$f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的函数，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$. 则 $\{f_n(x)\}$ 依测度收敛于 $f(x)$.

%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %因为 $f_n$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$, 以及 $m(E)<\infty$, 所以
由叶戈罗夫定理，对任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$ 使得 $m(E_\varepsilon)<\varepsilon$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E_\varepsilon$ 上一致收敛于 $f$. 

\item  根据一致收敛的定义，对任意 $\sigma>0$, 存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时对任意 $x\in E_\varepsilon$ 有
$|f_n(x)-f(x)|<\sigma$. 

\item  由(1)与(2)可知，对任意 $\sigma>0$, 任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$, 存在 $N$, 使得 $n\ge N$ 时有
\begin{eqnarray*}
E[|f_n-f|\ge \sigma]  &\subseteq&  E-E_\varepsilon, \\ 
m\left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right)  &\le&  m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon.  
\end{eqnarray*}

\item  根据依测度收敛的定义，函数列 $\{f_n\}$ 依测度收敛于 $f$.

\end{enumerate}

%{\color{red}解答：
%(1) 由叶戈罗夫定理，对任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$ 使得 $m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E_\varepsilon$ 上一致收敛于 $f$. 
%
%}

\vspace{1.3cm}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %Problem 03
设 $m(E)<\infty$, 设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上有限的可测函数列。
记 $g_n(x) = \sup\{ |f_k(x)|: k\ge n\},$
证明 $\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=0$ 在 $E$ 上几乎处处成立的充分必要条件是 $\{g_n(x)\}$ 依测度收敛于零。


%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
设 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于零。

\item  %2
由叶戈罗夫定理，对任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$, 使得 $m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon$, 且 $\{f_n\}$ 在 $E_\varepsilon$ 一致收敛于零。

\item  %3
由一致收敛的定义，对任意 $\sigma>0$, 存在 $N$, 使得 $n\ge N$ 时，对任意 $x\in E_\varepsilon$, 有 $|f_n(x)|<\sigma$. 

\item  %4
由 $g_n$ 的定义，当 $n\ge N$ 时，对任意 $x\in E-E_\varepsilon$, 有 $|g_n(x)|<\sigma$. 

\item  %5
由 $E[|g_n|\ge\sigma] \subseteq E-E_\varepsilon$ 可得 $m \left( E[|g_n|\ge\sigma] \right) \le m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon$. 

\item  %6
因此 $\{g_n\}$ 依测度收敛于零。

\item  %7
设 $\{g_n\}$ 依测度收敛于零。

\item  %9
由里斯定理，存在子列 $\{g_{n_1}, g_{n_2},\cdots,g_{n_k},\cdots\}$ 几乎处处收敛于零。

\item  %10
由 $g_n$ 的定义，可知 $g_1\ge g_2\ge\cdots\ge g_k\ge\cdots$, 因此 $\{g_1,g_2,\cdots,g_k,\cdots\}$ 几乎处处收敛于零。

\item  %11
由 $g_n$ 的定义，可知 $|f_k|\le |g_k|$, 因此 $\{f_1,f_2,\cdots,f_k,\cdots\}$ 几乎处处收敛于零。


\end{enumerate}

%{\color{red}解答：
%(4) 由 $g_n$ 的定义，当 $n\ge N$ 时，对任意 $x\in E_\varepsilon$, 有 $|g_n(x)|<\sigma$. 
%
%
%}

\vspace{1.3cm}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %Problem 04
%设在康托尔集 $P$ 上定义函数 $f(x)=0$, 而在 $P$ 的余集中长为 $3^{-n}$ 的构成区间上定义为 
%$n$, $(n=1,2,\cdots)$, 证明 $f(x)$ 可积，并求出积分值。
%
%
%%证明：
%\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
%\item  在 $P$ 的余集中长为 $3^{-1}$ 的区间有1个，记为 $E_1$, 其上的函数值为 1. 
%\item  在 $P$ 的余集中长为 $3^{-2}$ 的区间有2个，其并集记为 $E_2$, 其上的函数值为 2. 
%\item  在 $P$ 的余集中长为 $3^{-3}$ 的区间有4个，其并集记为 $E_3$, 其上的函数值为 3. 
%\item  在 $P$ 的余集中长为 $3^{-4}$ 的区间有8个，其并集记为 $E_4$, 其上的函数值为 4. 
%\item  在 $P$ 的余集中长为 $3^{-n}$ 的区间有$2^{n-1}$个，其并集记为 $E_n$, 其上的函数值为 $n$. 
%
%\item  因此函数 $f(x)$ 的积分为 
%$A=\int_{[0,1]} f(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} m(E_n)\cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n}n. $
%\item  乘以 3 可得 $3A=1+2\left(\frac{2}{3}\right) +3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right)^3+\cdots .$
%\item  根据 $1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x}$, 求导得 $1+2x+3x^2+\cdots = \frac{1}{(1-x)^2}$. 
%\item  代入 $x=\frac{2}{3}$ 可得 $3A=\frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}=9$, 所以 $A=3$. 
%
%\end{enumerate}
%
%{\color{red}解答：
%
%
%}
%
%\vspace{0.3cm}
%
%%\newpage

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\item  %Problem 05
（莱维定理）设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 是可测集，设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上一列非负可测函数，设对任意 $x\in E$, 对任意正整数 $n$, 都有 $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$. 记 $f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)$, 则有 
$$\lim\limits_{n\to\infty}\int_E f_n(x)dx = \int_E f(x)dx. $$ 

%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
因为 $f_1(x)\le  f_2(x)\le \cdots f_n(x)\le \cdots \le f(x)$, 所以由非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，可得 $$\int_E f_n(x)dx \le \int_E f(x)dx. $$ 

\item  %2
设 $\varphi(x)$ 是定义在 $E$ 上的使得 $\varphi(x)\le f(x)$ 的任意一个简单函数。   

\item  %3
对任意 $0<c<1$, 记 $E_n = E[f_n\ge c\varphi]$, 则有 $E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots\subseteq E_n\subseteq\cdots$ 
且 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n=E$. 

\item  %4
由非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，可得 
$$\int_Ef_n(x)dx \ge \int_{E_n} f_n(x)dx \ge \int_{E_n} c\varphi(x)dx =c\int_{E_n}\varphi(x)dx. $$

\item  %5
两边取极限 $n\to\infty$, 由非负简单函数的勒贝格积分的基本性质，可得 
$$\lim\limits_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)dx \ge 
c\lim\limits_{n\to\infty} \int_{E_n}\varphi(x)dx
=c\int_E \varphi(x)dx. $$

\item  %6
因为(5)对任意 $0<c<1$ 都成立，所以有 
$$\lim\limits_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)dx 
\ge \int_E \varphi(x)dx. $$

\item  %7
因为(6)对满足 $0\le \varphi(x)\le f(x)$ 的任意简单函数 $\varphi(x)$ 都成立，所以由非负可测函数的勒贝格积分的定义，可得
 $$\lim\limits_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)dx 
\ge \int_E f(x)dx. $$

\item  %8
由(1)与(7)可得所证等号成立。

\end{enumerate}

%{\color{red}解答：
%(2) 设 $\varphi(x)$ 是定义在 $E$ 上的使得 $0\le \varphi(x)\le f(x)$ 的任意一个简单函数。   
%
%
%}

\vspace{1.3cm}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %Problem 06
%（逐项积分定理）设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 是可测集，设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上一列非负可测函数，则有
%$$\int_E \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) \right)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_E f_n(x)dx. $$ 
%
%%证明：
%\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
%\item  
%\item  
%\item  
%\item  
%\item  
%
%\end{enumerate}
%
%{\color{red}解答：
%
%
%}
%
%\vspace{0.3cm}
%
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%\item  %Problem 07
%（法图引理）设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 是可测集，设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上一列非负可测函数，则有
%$$ \int_E \varliminf_{n\to\infty} f_n(x)dx \le \varliminf_{n\to\infty} \int_E f_n(x)dx. $$ 
%举例说明等号不一定成立。
%
%%证明：
%\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
%\item  
%\item  
%\item  
%\item  
%\item  
%
%\end{enumerate}
%
%{\color{red}解答：
%
%
%}
%
%\vspace{0.3cm}
%
%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}


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\end{document}

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